Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形,,,侧面底面,是等边三角形，，点分别是棱的中点 .

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面，且，求的值.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .

【解析】

试题

(Ⅰ)由题意证得，结合线面平行的判断定理可得平面.

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的大小为30°；

(Ⅲ)利用(II)中的空间直角坐标系结合空间向量的坐标表示得到关于实数 的方程，解方程可得.

试题解析：

（Ⅰ）证明：设是的中点，连接

∵ 分别是的中点

∴ ，，∴

∴ 四点共面

∵ ，平面，∴平面

（Ⅱ）

∵ 平面 底面，

∴ 平面，过点作轴与平面垂直，则轴平面

以分别为轴，轴建立空间直角坐标系

设平面的法向量为，则

设平面的法向量为

，，

，

，

∴

∴ ，∴所求二面角大小为.

（Ⅲ），，，，设

，，

∴ ，

∵ 平面，∴

∴ ， .