题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若在区间
上不单调,求
的取值范围;
(2)设,若函数
在区间
恒有意义,求实数
的取值范围;
(3)已知方程在
有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据的对称轴在区间
内列不等式,解不等式求得
的取值范围.
(2)先求得表达式,将函数
在区间
恒有意义,转化为“对于任意的实数
,不等式
恒成立”,对
分成
两种情况进行分类讨论,由此求得
的取值范围.
(3)构造函数,将
写出分段函数的形式,对
分成
两种情况进行分类讨论,结合
在
有两个不相等的实数根,求得实数
的取值范围.
(1)因为在区间
上不单调,则
,解得
即的取值范围
;
(2)
函数在区间
恒有意义,
等价于对于任意的实数,不等式
恒成立,(*)
当时,
,此时
,与(*)式矛盾,不合题意
当时,由
可知,
,
,所以
恒成立,即(*)成立
又在区间上实数
必须满足
综上,所求实数的取值范围为
;
(3)令
方程在
有两个不相等的实数根
等价于函数在区间
上存在两个零点
因为且
在
处图象不间断
当时,
无零点;
当时,由于
在
单调,∴在
内
至多只有一个零点,不妨设
的两个零点为
,并且
若有一个零点为0,则
,于是
,零点为
或
,所以
满足题意
若0不是函数零点,则函数
在区间
上存在两个零点有以下两种情形:
①若,
,
则.
②若,
则.
综合①②得,实数的取值范围是
.
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