Question

16．已知a＞1，b＞1，c＞1，且ab=10．
（1）求lga•lgb的最大值；
（2）求证：log_ac+log_bc≥4lgc．

Answer 1

分析 （1）运用对数的运算法则和基本不等式，即可得到最大值；
（2）运用分析法证明，结合对数的换底公式和基本不等式，即可得证．

解答 （1）解：由题意可知lgab=lg10=1，lga＞0，lgb＞0，
即lga+lgb=1≥2$\sqrt{lga•lgb}$，
当且仅当lga=lgb=$\frac{1}{2}$即a=b=$\sqrt{10}$时取等号，
即有lga•lgb的最大值为$\frac{1}{4}$；
（2）证明：要证：log_ac+log_bc≥4lgc，
即证：$\frac{lgc}{lga}$+$\frac{lgc}{lgb}$≥4lgc，
由于a＞1，b＞1，c＞1则lga，lgb，lgc都大于0，
即证：lga+lgb≥4lga•lgb，
已知ab=10则lga+lgb=1，
即证：1≥4lga•lgb，
由（1）知成立，所以原不等式成立．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值和证明不等式，同时考查对数的运算性质，分析法证明不等式的方法，属于中档题．