题目内容

13．分别写出三角形数构成的数列的第5项，第6项和第7项，并写出它的一个递推公式．

分析 通过三角形数的规律可写出通项，进而可得结论．

解答 解：如图：

三角形数为：1，3，6，10，15，…
∵an=1+2+…+n，an+1=1+2+…+n+（n+1），
∴该数列的通项an=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
递推公式为：an+1=n+1+an，
∴a5=$\frac{5×6}{2}$=15，
a6=$\frac{6×7}{2}$=21，
a7=$\frac{7×8}{2}$=28．

点评 本题考查三角形数，注意解题方法的积累，属于基础题．

练习册系列答案
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16．已知a＞1，b＞1，c＞1，且ab=10．
（1）求lga•lgb的最大值；
（2）求证：logac+logbc≥4lgc．
4．已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AT，BT交于点T，且它们的斜率之积为常数-λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C．
（1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1．设直线l：x=my+1交曲线C于M，N，直线AM，BN交于点P．
（ⅰ）当m=0时，求点P的坐标；（ⅱ）求证：当m变化时，P总在直线x=4上．
1．8个人分两排坐，每排4人，限定甲坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，则不同安排办法有8640种．
8．抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（　　）
A．4B．3$\sqrt{3}$C．4$\sqrt{3}$D．8
18．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过M（2，2e），N（2e，$\sqrt{3}$）两点，其中e为椭圆的离心率，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．
5．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=$\frac{2}{3}$AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；
（2）求四棱锥P-BCEF的体积．
2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y2=1，（a＞1），过点A（-a，0）斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于点B．直线BO（O为坐标原点）交椭圆于另一点C．
（1）当a=2时是否存在k使得|AC|=|BC|？
（2）若k∈[$\frac{1}{2}$，1]，求△ABC的面积的最大值．
20．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的两焦点分别为F1，F2．点D为椭圆E上任意一点，△DF1F2面积最大值为1，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知过点（1，0）的直线l与椭圆E相交于A，B两点，试问：在直线x=2上是否存在点P，使得△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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