Question

9．已知等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，延长CD交AC的平行线BE于点E．
（1）求证：BC=BE，DB=BF
（2）连接AD，求证：AD平分∠BAC
（3）求证：BD+BC=AC．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线及平行线的性质，证明BC=BE，DB=BF
（2）连接AD，证明：D到AB，AC的距离相等，即可证明AD平分∠BAC
（3）作∠ABM=∠BCD，交AC于M，证明△ABM≌△BCD，即可证明BD+BC=AC．

解答 证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC∥BE，
∴∠ACE=∠BEC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE，
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠BDF=∠BFD，
∴DB=BF
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，
∴D到AB，AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC；
（3）作∠ABM=∠BCD，交AC于M，则
∵AB=BC，∠BAM=∠CBD，
∴△ABM≌△BCD，
∴AM=BD，
∵∠CBM=∠CMB=67.5°，
∴CM=BC，
∴AC=AM+CM=BD+BC．

点评 本题考查角平分线及平行线的性质，考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．