Question

12．求下列双曲线的标准方程：
（1）经过两点（-4，0）、（4$\sqrt{2}$，-2）：
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同的渐近线，且过点（2$\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为mx²-ny²=1，代入两点（-4，0）、（4$\sqrt{2}$，-2），求出m，n，即可求出双曲线的标准方程；
（2）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=λ，代入点（2$\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$），求出λ，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：（1）设双曲线方程为mx²-ny²=1，
∵双曲线经过两点（-4，0）、（4$\sqrt{2}$，-2），
∴16m=1，32m-4n=1，
∴m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}$=λ，
∵过点（2$\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$），
∴$\frac{24}{4}-\frac{24}{3}$=λ，
∴λ=-2，
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{6}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$

点评 本题考查双曲线的方程，考查待定系数法的运用，正确设出双曲线的方程是关键．