题目内容
【题目】下列四个命题中，正确的命题是_________．
①已知点
,则
的面积为10.
②若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的
倍
③过点
且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为
.
④直线
与直线
的距离是
.
【答案】②④
【解析】
利用两点间的距离公式以及点斜式、点到直线的距离公式可判断①；根据斜二测画法的步骤和方法可判断②；根据直线过原点与坐标轴的截距也互为相反可判断③；由两平行线间的距离公式可判断④.
对于①，由点
，
则
，
由
，则直线
：
，整理得
点
到的距离为
，故
，故①错；
对于②，设三角形底边为
、高为
；斜二测画法水平长度不变仍为，
竖直变为原来的一半
，垂直角变为
或
，
斜二测画出的三角形高为
，故直观图的面积是原三角形面积的
倍，
故②正确；
对于③，过点
且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为
.
当直线过原点时也满足条件，即
，故③错误；
对于④，直线
与直线
平行，直线化为
故直线间的距离为
，故④正确；
故答案为：②④
【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
．）