Question

15．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤3n-nx（n∈N*）}\end{array}\right.$所表示的平面区域D_n，记D_n内的整点个数为a_n，（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，b_k=${C}_{n}^{k}$a_k（k=1，2，3，…，n），T_n=$\sum_{k=1}^{n}$b_k，若对于一切正整数n，$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤3n-nx（n∈N*）}\end{array}\right.$所表示的平面区域D_n，记D_n内的整点：（1，1），（1，2），…，（1，2n），（2，1），（2，2），…，（2，n）．即可得出．
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{3n（n+1）}{2}$．b_k=${C}_{n}^{k}$a_k=$3k{∁}_{n}^{k}$=3n${∁}_{n-1}^{k-1}$，T_n=$\sum_{k=1}^{n}$b_k=3$（{∁}_{n}^{1}+2{∁}_{n}^{2}+…+n{∁}_{n}^{n}）$=3n$（{∁}_{n-1}^{0}+{∁}_{n-1}^{1}+…+{∁}_{n-1}^{n-1}）$=3n2^n-1．
f（n）=$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，对n讨论，即可得出最大值．

解答 解：（1）n=1时，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0，y＞0}\\{y≤3-x}\end{array}\right.$，D₁内的整点（1，1），（1，2），（2，1），总个数a₁=3×1．
n=2时，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0，y＞0}\\{y≤6-2x}\end{array}\right.$，D₂内的整点（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），总个数a₂=6=3×2．
…，
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤3n-nx（n∈N*）}\end{array}\right.$所表示的平面区域D_n，记D_n内的整点：（1，1），（1，2），…，（1，2n），（2，1），（2，2），…，（2，n）．
总个数a_n=2n+n=3n．
∴a_n=3n．
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}$．
b_k=${C}_{n}^{k}$a_k=$3k{∁}_{n}^{k}$=3n${∁}_{n-1}^{k-1}$，
T_n=$\sum_{k=1}^{n}$b_k=3$（{∁}_{n}^{1}+2{∁}_{n}^{2}+…+n{∁}_{n}^{n}）$=3n$（{∁}_{n-1}^{0}+{∁}_{n-1}^{1}+…+{∁}_{n-1}^{n-1}）$=3n2^n-1．
f（n）=$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{\frac{3{n}^{2}（n+1）}{2}}{3n•{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，
当n=1时，2¹-1×（1+1）=0，f（1）=1；
当n=2时，2²-2×（2+1）=-2＜0，f（2）=$\frac{3}{2}$；
当n=3时，2³-3×（3+1）=-4＜0，f（3）=$\frac{3}{2}$；
当n=4时，2⁴-4×（4+1）=-4＜0，f（4）=$\frac{5}{4}$；
当n=5时，2⁵-5×（5+1）=2＞0，f（5）=$\frac{15}{16}$＜1；
…，
当n≥5时，2ⁿ-n（n+1）＞0，（利用二项式定理可证明），f（n）＜1．
可得f（n）_max=$\frac{3}{2}$
若对于一切正整数n，$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$≤m恒成立，
∴m≥$\frac{3}{2}$．
∴实数m的取值范围是m≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了线性规划问题、等差数列的通项公式及其前n项和公式、组合数的性质、二项式定理的应用、恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．