Question

10．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（1）求sinα的值；
（2）求cos（$\frac{5π}{12}$-α）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），利用同角三角函数关系式可求cos（α+$\frac{π}{4}$），根据两角差的正弦函数公式即可求得sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．
（2）由cos（$\frac{5π}{12}$-α）=cos[$\frac{2π}{3}$-（α+$\frac{π}{4}$）]，根据两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值．

解答 解：（1）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
∴sinα=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{7}}{3}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{6}$-$\frac{1}{3}$．
（2）cos（$\frac{5π}{12}$-α）=cos[$\frac{2π}{3}$-（α+$\frac{π}{4}$）]=cos$\frac{2π}{3}$cos（α+$\frac{π}{4}$）+sin$\frac{2π}{3}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=（-$\frac{1}{2}$）×$（-\frac{\sqrt{7}}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{3}）$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角差的正弦函数公式，两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．