Question

设二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．

Answer 1

（1）当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
（2）f(x)<m.

解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0<x<m<n<，
∴x－m<0,1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.