题目内容

6.若正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的棱长为6,求它的内切球的表面积.

分析 求出正三棱锥的高,求出正三棱锥的全面积和体积,设内切球的半径为r,以球心O为顶点,以棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,运用等积法可得球的半径,即可求出球的表面积.

解答 解:由题意,底面外接圆的半径为$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=2$\sqrt{3}$,
∴正三棱锥的高为$\sqrt{{6}^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
∵正三棱锥的所有棱长都等于6,
则S=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×62=36$\sqrt{3}$.
VP-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36×2$\sqrt{6}$=18$\sqrt{2}$,
设内切球的半径为r,以球心O为顶点,
以棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,
则V1+V2+V3+V4=$\frac{1}{3}$rS=VP-ABC
∴r=$\frac{3×18\sqrt{2}}{36\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
∴S球=4πr2=4π×$\frac{6}{4}$=6π.

点评 本题考查正三棱锥与内切球的关系,主要考查球的表面积公式的计算,确定球的半径是关键.

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