题目内容
17.(1)若x>0时,a,b∈[0,+∞),求f(x)=ax+$\frac{b}{x}$的最小值;(2)若x<0,a,b∈[0,+∞),求f(x)=ax+$\frac{b}{x}$的最大值.
分析 (1)当x>0时,直接由基本不等式可得f(x)=ax+$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=2$\sqrt{ab}$,求出等号成立的条件即可;
(2)当x<0时,变形可得f(x)=-(-ax-$\frac{b}{x}$)≤-2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=-2$\sqrt{ab}$,求出等号成立的条件即可.
解答 解:(1)当x>0时,a,b∈[0,+∞),
f(x)=ax+$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=2$\sqrt{ab}$,
当且仅当ax=$\frac{b}{x}$即x=$\frac{\sqrt{ab}}{a}$时取等号,
∴f(x)=ax+$\frac{b}{x}$的最小值为2$\sqrt{ab}$,;
(2)当x<0,a,b∈[0,+∞),
f(x)=-(-ax-$\frac{b}{x}$)≤-2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=-2$\sqrt{ab}$,
当且仅当-ax=-$\frac{b}{x}$即x=-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$时取等号,
∴f(x)=ax+$\frac{b}{x}$的最大值为-2$\sqrt{ab}$.
点评 本题考查基本不等式求最值,注意等号成立的条件是解决问题的关键,属基础题.
练习册系列答案
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