Question

2．已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，$\frac{3}{2}$）以A，B为焦点的椭圆经过C点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点D（0，1），是否存在不平行x轴的直线l与椭圆交于不同的两点M，N的值，使得（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0？若存在，求出直线l斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），利用以A，B为焦点的椭圆进过C点，计算即得结论；
（2）利用（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0等价于|$\overrightarrow{DM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|可设直线l：y=kx+m（k≠0），一方面通过联立直线l与椭圆方程并令△＞0可知4k²+3＞m²，另一方面利用中点坐标公式及$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$计算可知m=-3-4k²，由此得出两者矛盾，进而可得结论．

解答 解：（1）依题意，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（-1）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=4，b²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）结论：不存在不平行x轴的直线l与椭圆交于不同的两点M，N的值，使得（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0．
理由如下：
∵（$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0等价于|$\overrightarrow{DM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|，
∴若存在符合条件的直线，则该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）在x轴上矛盾，
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0），并与椭圆方程联立，
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
令△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
化简得：4k²+3＞m²，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀），
∴x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3m}{4{k}^{2}+3}$，
又∵|$\overrightarrow{DM}$|=|$\overrightarrow{DN}$|，
∴$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即$\frac{\frac{3m}{4{k}^{2}+3}-1}{-\frac{3m}{4{k}^{2}+3}}$=-$\frac{1}{k}$，
解得：m=-3-4k²，
又∵4k²+3＞m²，
∴4k²+3＞（4k²+3）²，
而这是不可能的，即满足条件的直线l不存在．

点评 本题是一道关于直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．