题目内容
【题目】如图,已知双曲线的两条渐近线分别为
.
为坐标原点,动直线
分别交直线
于
两点(
分别在第一四象限),且
的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线
有且只有一个公共点的双曲线
?若存在,求出双曲线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,双曲线的方程为:
【解析】
当轴时,利用三角形面积公式,结合题意求出双曲线的方程,再利用一元二次方程根与系数的关系,结合三角形面积公式,证明当直线
与
轴不垂直时,该双曲线也满足条件即可.
设双曲线的方程为
,设直线
与
轴相交于点
.
当轴时,若直线
与双曲线
有且只有个公共点,则
.又因为
的面积为8,所以
,因此
,解得
,
双曲线的一条渐近线方程为:,即
,
此时双曲线的方程为
.
若存在满足条件的双曲线,则
的方程只能为
.
以下证明:当直线与
轴不垂直时,双曲线
也满足条件.
设直线的方程为
,依题意,得
或
,则
,
记.得
,同理得
.由
,
得,即
,
由得.因为
,
所以.又因为
,所以
,即
与双曲线
有且只有一个公共点.
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知曲线的参数方程为
(
为参数),曲线
的极坐标方程为
.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)曲线,
是否相交?若相交,请求出公共弦长;若不相交,请说明理由.
【题目】2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO餐厅上线刷脸支付,也即用户可以不用手机,单单通过刷脸就可以完成支付宝支付,这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人,调查了他们的支付宝使用情况,得到如下频率分布直方图:
若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”, 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.
(I)若抽取的“支付宝达人”中女性占120人,请根据条件完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.
(II)支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议,从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查,求至少有1人是“支付宝达人”的概率.
附:参考公式与参考数据如下
,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |