Question

17．求函数的值域，单调区间．
y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）

Answer 1

分析 求函数的定义域，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞-3}\end{array}\right.$，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），
则log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-1}{x+3}$，
设t=$\frac{x-1}{x+3}$，则t=$\frac{x+3-4}{x+3}$=1-$\frac{4}{x+3}$，
在（1，+∞）上，t为增函数，
此时t＞0，此时函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+3）为减函数，
即函数的单调递减区间为（1，+∞），
函数的值域为（-∞，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调区间以及函数值域的求解，根据对数函数的性质结合复合函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．