题目内容
【题目】已知连续不断函数,
,
,
(1)证明:函数在区间
上有且只有一个零点;
(2)现已知函数在
上单调递增,且都只有一个零点(不必证明),记三个函数
的零点分别为
。
求证:Ⅰ);
Ⅱ)判断与
的大小,并证明你的结论。
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】分析:(1)由函数的解析式可知函数在区间
上单调递减,结合函数零点存在定理可得函数
在区间
上有且只有一个零点;
(2)Ⅰ)由题意可得,结合函数的对称性可得
;
Ⅱ)由题意结合函数的特征可证得.
详解:
(1)先证明在区间
上有零点:由于
,
由零点存在性定理知在区间
上有零点
再证明在
上是单调递减函数:设
由于在
上递减,所以
又
从而,即
在
上是单调递减函数.
故函数在
有且只有一个零点.
(2)Ⅰ)因为是
的零点,所以有
,将其变形为
,即
,从而有
=0 ,
又因为,且由(1)的结论
在
上有唯一零点,
从而有,
.
Ⅱ)判断,证明如下:
由于,
由零点存在性定理和已知得,从而有
,
所以有,又由已知
在
上单调递增,所以
.
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