题目内容
【题目】已知抛物线,圆
,点
为抛物线
上的动点,
为坐标原点,线段
的中点
的轨迹为曲线
.
(1)求抛物线的方程;
(2)点是曲线
上的点,过点
作圆
的两条切线,分别与
轴交于
两点.
求面积的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意可得,设中点坐标,表示出点
,将其代入到抛物线方程中,即可得到抛物线
的方程;(Ⅱ)由题意可设切线方程为:
,进而得到切线与x轴的交点为
,由圆心到切线方程的距离为半径,得到
,由韦达定理,可得到
的函数关系式,利用函数的单调性可求出面积最小值.
试题解析:
(Ⅰ)设,则点
在抛物线
上,
所以,即
,所以曲线C的方程为:
.
(Ⅱ)设切线方程为: ,令y=0,解得
,
所以切线与x轴的交点为,圆心(2,0)到切线的距离为
,
∴,
整理得: ,
设两条切线的斜率分别为,
则,
∴
记,则
,
∵,
∴在
上单增,∴
,∴
,
∴面积的最小值为
.
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