Question

【题目】已知函数 是奇函数，且函数f（x）的图象过点（1，3）．
（1）求实数a，b值；
（2）用定义证明函数f（x）在 上单调递增；
（3）求函数[1，+∞）上f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0．

又函数图象经过点（1，3），∴ ，∵b=0，∴a=2

（2）解：由题意可得 ，

任取 ，并设x1＜x2，

则 ，∵ 且x1＜x2 ，

∴ ，1﹣2x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在 上单调递增

（3）解：由（2）知f（x）在 上单调递增，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴f（x）在[1，+∞）上的值域为[f（1），+∞），即[3，+∞）

【解析】（1）根据f（﹣x）=﹣f（x）求得b的值，根据函数图象经过点（1，3），求得a的值．（2）利用函数的单调性的定义证明f（x）在 上单调递增．（3）利用函数的单调性求得函数在[1，+∞）上的值域．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．