Question

【题目】如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）不存在．

【解析】

(1)∵DE⊥BE，BE∥DC，

∴DE⊥DC．

又∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，

∴DC⊥平面A1DE，

∴DC⊥A1E.

又∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，

∴A1E⊥平面BCDE.

(2)∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，

∴以EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图）．

易知DE=2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，

∴=(2，0，2)，=(2，2，0)，

易知平面A1BE的一个法向量为n=(0，1，0)．

设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)，

由·m=0，·m=0，得令y=1，得m=(，1，)，

∴cos〈m，n〉===.

由图得二面角E A1B C为钝二面角，

∴二面角E A1B C的余弦值为.

(3)假设在线段EB上存在一点P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．

设P(t，0，0)(0≤t≤2)，则=(t，0，2)，=(0，2，2)，

设平面A1DP的法向量为p=(x1，y1，z1)，

由得令x1=2，得p=.

∵平面A1DP⊥平面A1BC，

∴m·p=0，即2＋t=0，解得t=3.

∵0≤t≤2，

∴在线段EB上不存在点P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．