Question

【题目】已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知=，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以，所以BC=2．

【解析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知= ， 从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有 ， 故可求BC的长．