Question

【题目】已知函数f（x）=ex·（a++lnx），其中a∈R.

（I）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=-垂直，求a的值；

（II）当a∈（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值.

Answer 1

【答案】（1）a=0（2）见解析

【解析】分析：（1）由题意，求得函数的导数，由，即可求得的值；

（2）求得导数，得到与同号，令，求得，求得函数在存在，使得，进而得到在上点单调性，即可作出证明.

详解：（I）f（x）的导函数为f'（x）=ex·（a++lnx）+ex·（-）

=ex·（a+-+lnx）.

依题意，有f'（1）=e·（a+1）=e，

解得a=0.

（II）由f'（x）=ex·（a+-+lnx）及ex>0知，f'（x）与a+-+lnx同号.

令g（x）=a+-+lnx，

则g'（x）==.

所以对任意x（0,+），有g'（x）>0，故g（x）在（0，+）单调递增.

因为a∈（0，ln2），所以g（1）=a+l>0，g（）=a+ln<0，

故存在x0∈（，1），使得g（x0）=0.

f（x）与f'（x）在区间（，1）上的情况如下：

x	（,x0）	x0	（x0,1）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）在区间（，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增.

所以f（x）存在极小值f（x0）.