题目内容

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0,使得f(x)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
解:(Ⅰ)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2 + x)=f(x)- x2 +x,
所以f(f(2)- 22+2)=f(2)-22+2.
又由f(2)=3,得f(3-22+2)-3-22+2,即f(1)=1.
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.
(Ⅱ)因为对任意x∈R,有f(f(x))-x2 +x)=f(x)-x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xεR,有f(x)-x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)- x2 +x=0,即f(x)= x2-x.
但方程x2-x=x有两上不同实根,与题设条件矛质,故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)-x2 +x=1,即f(x)= x2-x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上,所求函数为f(x)= x2-x+1(xR)
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