题目内容
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝
，a3＝
，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：
为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】
(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，
整理得a4＝
，
又a2＝
，a3＝
，
所以a4＝
.
(2)证明：当n≥2时，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，
即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1，
∴4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)，
即an＋2＝an＋1－
an(n≥2)．
经检验，当n＝1时，上式成立．
∵
＝
＝
＝
为常数，且a2－a1＝1，
∴数列
是以1为首项，为公比的等比数列．
(3)解：由(2)知，an＋1－an＝
(n∈N*)，
等式两边同乘2n，
得2nan＋1－2n－1an＝2(n∈N*)．
又20a1＝1，
∴数列{2n－1an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴2n－1an＝2n－1，
即an＝
(n∈N*)．
则数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)．
练习册系列答案
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【题目】张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：
年龄 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
身高 | 121 | 128 | 135 | 141 | 148 | 154 | 160 |
（Ⅰ）求身高
关于年龄
的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
．
