题目内容
【题目】已知函数
，且函数
在
和
处都取得极值．
（1）求实数
与
的值；
（2）对任意
，方程
存在三个实数根，求实数c的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据导数和极值的关系可知， 
，得到
的值，然后回代函数
验证；（2）转化为
和
有3个交点，根据（1）的结果计算极大值和极小值，以及端点值，比较后得到函数
的图象，如果有3个不同交点时， 
，得到
的值.
试题解析：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b
由题意可知
解得
经检验，适合条件，所以
（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，…
由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），…，
令（3x+2）（x﹣1）=0，可得x=﹣
，x=1；
x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，﹣），x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，
x∈（﹣
，1）时，函数是减函数，
函数的极大值为：f（﹣）=c+
，f（2）=2+c＞c+
极小值为：f（1）=﹣
+c，f（﹣1）=
＞
…
∴x∈[﹣1，2]时，
可得
，∴
…
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