题目内容
【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． 
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）在△PAD中，AP=2，AD=2 
，PD=4，三棱锥E﹣ACD的体积是 ，求二面角D﹣AE﹣C的大小．
【答案】
（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO．
∵ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点．
又E为PD的中点，∴EO∥PB．
∵EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC．
（2）解：∵在△PAD中， 
，
∴AP2+AD2=PD2，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，
在平行四边形ABCD中，AC=BD，∴ABCD为矩形，
∴AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点， 
的方向为x轴的正方向， 
为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
∵E为PD的中点，∴三棱锥E﹣ACD的高为 
，
设AB=m（m＞0），三棱锥E﹣ACD的体积 
，解得m=3=AB．
则 
， 
，
设B（3，0，0）（m＞0），则 
．
设 
为平面ACE的法向量，
则 
，即 
，取y=﹣1，得 
．
又 
为平面DAE的法向量，
由题设 
，
即二面角D﹣AE﹣C的大小是60°．
【解析】（1）连结BD交AC于点O，连结EO，则EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（2）推导出PA⊥AD．则PA⊥平面ABC，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的大小．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．
