题目内容
【题目】已知函数f（x）= 
在x=1处取得极值．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥ 
恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当n∈N* ， n≥2时，求证：nf（n）＜2+ 
+ 
+…+ 
．
【答案】
（1）解：由题意得 
，
所以f'（1）=1﹣a=0即a=1，∴ 
，
令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（2）解：由题意要使x∈[1，+∞）时， 
恒成立，
即 
，
记 
，则m≤[h（x）]min，
，又令g（x）=x﹣lnx，
则 
，又x≥1，所以 
，
所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，
即g（x）≥g（1）=1＞0，
∴ 
，
即h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以[h（x）]min=h（1）=2，∴m≤2．
（3）解：∵函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
而 
（n∈N*，n≥2），
∴ 
，
∴ 
，
即 
，
∴ 
，
即 
，而nf（n）=1+lnn，
∴ 
结论成立．
【解析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 ，令 ，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（3）求出ln（n+1）﹣lnn＜ 
，结合nf（n）=1+lnn，证出结论即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．
