Question

9．已知函数f（x）=x²-e^x，试判断f（x）的单调性并给予证明．

Answer 1

分析 求出函数的导函数，把导函数二次求导后，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于0，从而得到原函数是实数集上的减函数．

解答 解：f（x）=x²-e^x，f（x）在R上单调递减．
设g（x）=f′（x）=2x-e^x，则g′（x）=2-e^x，
当x=ln2时，g′（x）=0，
当x∈（-∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．
∴函数g（x）在（-∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．
∴f′（x）_max=g（x）_max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f′（x）＜0恒成立
∴f（x）在R上单调递减．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．