Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC=AC=CC₁，∠ACB=60°，D，E分别是A₁C₁，BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁D∥平面AC₁E；
（Ⅱ）求证：平面AC₁E⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅲ）求直线AB与平面AC₁E所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC₁和A₁C的交点为O，连接EO，连接OD，根据三角形中位线定理可以证明四边形EB₁DO为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（Ⅱ）证明EO⊥平面AA₁C₁C，即可证明平面AC₁E⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅲ）利用等体积求出B到平面AC₁E的距离，即可求直线AB与平面AC₁E所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：设AC₁和A₁C的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AC₁的中点，D为A₁C₁的中点，
所以OD∥AA₁且OD=$\frac{1}{2}$AA₁．
又E是BB₁中点，
所以B₁E∥OD且B₁E=OD．
所以，四边形EB₁DO为平行四边形．所以EO∥B₁D．
又B₁D?平面AC₁E，EO?平面AC₁E，
所以B₁D∥平面AC₁E；
（Ⅱ）证明：由题意，B₁D⊥平面AA₁C₁C，EO∥B₁D，
所以EO⊥平面AA₁C₁C，
因为EO?平面AC₁E，
所以平面AC₁E⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅲ）解：设BC=AC=CC₁=2，则三角形AC₁E的面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
设B到平面AC₁E的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{3}$，
所以h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以直线AB与平面AC₁E所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．