Question

【题目】已知函数f（x）=pe﹣x+x+1（p∈R）． （Ⅰ）当实数p=e时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当p=1时，若直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当p=e时，f（x）=e1﹣x+x+1， 可得导数f′（x）=﹣e1﹣x+1，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程为y=3；
（Ⅱ）∵f（x）=pe﹣x+x+1，∴f′（x）=﹣pe﹣x+1，
①当p≤0时，f′（x）＞0，则函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
②当p＞0时，令f′（x）=0，得ex=p，解得x=lnp．
则当x变化时，f′（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，lnp）	lnp	（lnp，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	递减	2+lnp	递增

所以，当p＞0时，f（x）的单调递增区间为 （lnp，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lnp）．
（Ⅲ）当p=1时，f（x）=e﹣x+x+1，直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于关于x的方程mx+1=e﹣x+x+1在（﹣∞，+∞）上没有实数解，
即关于x的方程（m﹣1）x=e﹣x（*）在（﹣∞，+∞）上没有实数解．
①当m=1时，方程（*）化为e﹣x=0，
显然在（﹣∞，+∞）上没有实数解．
②当m≠1时，方程（*）化为xex= ，令g（x）=xex ， 则有g′（x）=（1+x）ex ．
令g′（x）=0，得x=﹣1，则当x变化时，g'（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘		↗

当x=﹣1时， ，同时当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，
从而g（x）的值域为 ．
所以当 ＜﹣ 时，方程（*）无实数解，解得实数m的取值范围是（1﹣e，1）．
综合①②可知实数m的取值范围是（1﹣e，1]．
【解析】（Ⅰ）求出当p=e时的函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论①当p≤0时，②当p＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）当p=1时，f（x）=e﹣x+x+1，直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x的方程mx+1=e﹣x+x+1在（﹣∞，+∞）上没有实数解，即关于x的方程（m﹣1）x=e﹣x（*）在（﹣∞，+∞）上没有实数解．讨论当m=1，当m≠1时，通过方程的解和构造函数，求出导数和单调区间，可得值域，即可得到所求m的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．