Question

【题目】如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： + =1交于A、B两点，且OA⊥OB．

（Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）；
（Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ∵斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： + =1交于A、B两点，且OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，∴ ，
∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）
联立 ，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，
则 ，x1x2= 三，且△＞0，代入（*）
从而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，
∴ ，∴t=± ，
∴直线l在y轴上的截距为 或﹣ ．
（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S= |AB|d，
而由（1）知d= ，且|AB|=
= = = ，
∴ ≤ ，
当 时， ，解得k= ，∴t= ，
∴所求直线方程为y= 或y= ．
【解析】（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，联立 ，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距．（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S= |AB|d，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．