题目内容
【题目】椭圆C: =1的右焦点F,过焦点F的直线l0⊥x轴,P(x0 , y0)(x0y0≠0)为C上任意一点,C在点P处的切线为l,l与l0相交于点M,与直线l1:x=3相交于N.
(I) 求证;直线 =1是椭圆C在点P处的切线;
(Ⅱ)求证: 为定值,并求此定值;
(Ⅲ)请问△ONP(O为坐标原点)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】证明:(Ⅰ)∵P(x0 , y0)在椭圆C: 上,
∴ ,即
,
∴直线 过点P(x0 , y0),
由 ,消去y,并利用
,得
,
即6x2﹣12x0x+6x02=0,即6(x﹣x0)2=0,∴x=x0 ,
∴直线 =1与椭圆C在点P处有且仅有一个交点,
综上,直线 是椭圆C在点P处的切线.
(Ⅱ)在 中,令x=1,得y=
,∴M(1,
),
在 中,令x=3,得y=
,∴N(3,
),
又F(1,0),∴|FM|=| |=2|
|,
|FN|= =2
=2
=2
,
∴ =
为定值.
解:(Ⅲ)在直线 中,令y=0,得x=
,
∴切线l与x轴的交点为G( ,0),
S△ONP= =
=
= |
||
|
= |
||
|
=
=| |=
,
S△ONP= =
=
=
,
令3﹣x0= ,由﹣
,得
,且t
,
且 =
=
=
=
,
∴当t= ,x0=1时,△ONP(O为坐标原点)的面积是存在最小值{S△ONP}min=
,
此时P(1, ).
【解析】(Ⅰ)推导出直线 过点P(x0 , y0),由
及
,得
,由此能证明直线
是椭圆C在点P处的切线.(Ⅱ)在
中,令x=1,M(1,
),令x=3,得N(3,
),由此求出|FM|,|FN|,由此能证明
为定值.(Ⅲ)求出切线l与x轴的交点为G(
,0),推导出S△ONP=
=
,令3﹣x0=
,利用配方法能求出△ONP的面积的最小值及对应的P点坐标.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校在高二年级实行选课走班教学,学校为学生提供了多种课程,其中数学科提供5种不同层次的课程,分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5,每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习,该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表:
课程 | 数学1 | 数学2 | 数学3 | 数学4 | 数学5 | 合计 |
选课人数 | 180 | 540 | 540 | 360 | 180 | 1800 |
为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析.
(1)从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人选择数学2的概率;
(2)从选出的10名学生中随机抽取3人,记这3人中选择数学2的人数为X,选择数学1的人数为Y,设随机变量ξ=X﹣Y,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).