题目内容
设 .
(1)若是函数的极大值点,求的取值范围;
(2)当时,若在上至少存在一点,使成立,求的取值范围.
(1); (2) .
解析试题分析:(1)对函数求导,
求出零点,分析单调性,找出极大值点与1的关系,进行计算;
(2)原问题转化为当时, ,利用第一问求出最值,解不等式.
试题解析:(1)
当时,f(x)在(0,1)递减,在(1,+)递增,故f(x)在x=1处取到极小值,不合舍去。
当时,f(x)在(0,a-1)递增,在(a-1,1)递减,在(1,+)递增,故f(x)在x=1处取到极小值,不合舍去。
当时,f(x)在(0,1)和(1,+)均递增,故f(x)在x=1处没有极值,不合舍去。
当时,f(x)在(0,1)递增,在(1,a-1)递减,在(a-1, +)递增,故f(x)在x=1处取到极大值,符合题意。
综上所述,当,即时,是函数的极大值点. 6分
(2)在上至少存在一点,使成立,等价于
当时, .由(1)知,①当,即时,
函数在上递减,在上递增,.
由,解得.由,解得, ; ②当,即时,函数在上递增,在上递减,.
综上所述,当时,在上至少存在一点,使成立. 13分
考点:导数计算,转化与化归思想.
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