题目内容
已知函数
.
（1）试判断函数
的单调性；
（2）设
，求在
上的最大值；
（3）试证明：对
，不等式
.
（1）函数在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）
=
（3）见解析
解析试题分析：（1）先求函数的定义域，再求出函数的导数,分别解出导数大于0和导数小于0的解集，就是函数的单调增区间和单调减区间；（2）由（1）知函数的单调性，利用分类整合思想，对区间端点与单调区间的分界点比较，利用函数的图像与性质，求出最大值即可；（3）由（1）知的在（0，+
）的最大值，列出关于
的不等式，通过变形化为对
恒有
，令对
，即可得到所证不等式.
试题解析：（1）函数的定义域是：
由已知
1分
令
得，
，
当
时，
，当
时，
函数在上单调递增，在上单调递减 3分
（2）由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减
故①当
即
时，在上单调递增
5分
②当
时，在上单调递减
7分
③当
，即
时
综上所述，=. 9分
（3）由（1）知，当
时， 10分
∴ 在上恒有
，即
且当
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．
是函数
的极大值点，求
的取值范围；
时，若在
上至少存在一点
，使
成立，求
，设曲线
在点
处的切线为
。
的值；
，其中
。
时，
。
时，求曲线
处的切线方程；
时，若
上的最小值为
，其中
是自然对数的底数，
，函数g(x)的导函数
，且
的极值；
，使得
成立，试求实数m的取值范围：
，求证：
，其中a，b∈R
成立，试用a表示出b的取值范围；
时，若
对x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.
是函数
的一个极值点.
与
的关系式（用
的单调区间；
，
在区间[0，4]上是增函数.若存在
使得
成立，求
的展开式中的常数项为m，函数
，且
，则曲线
在点
处切线的斜率为 。
，函数
在
处的切线方程为 ；