题目内容
已知函数,
.
(1)求函数的极值;(2)若
恒成立,求实数
的值;
(3)设有两个极值点
、
(
),求实数
的取值范围,并证明
.
(1);(2)
;(3) 见解析。
解析试题分析:(1)先求的定义域,然后对
求导,令
寻找极值点,从而求出极值;(2)构造函数
,又
,则只需
恒成立,再证
在
处取到最小值即可;(3)
有两个极值点等价于方程
在
上有两个不等的正根,由此可得
的取值范围,
,由根与系数可知
及
范围为
,代入上式得
,利用导函数求
的最小值即可。
试题解析:(1)的定义域是
,
.
,故当x=1时,G(x)的极小值为0.
(2)令,则
,
所以,即
恒成立的必要条件是
,
又,由
得:
.
当时,由
知
,
故,即
恒成立.
(3)由,得
.
有两个极值点
、
等价于方程
在
上有两个不等的正根,
即:, 解得
.
由,得
,其中
.
所以.
设,得
,
所以,即
.
考点:(1)利用导求函数的极值、最值;(2)一元二方程根的分布;(3)构造函数解决与不等式有关问题。

练习册系列答案
相关题目