Question

(本题满分15分) 设抛物线C₁：x²＝4y的焦点为F，曲线C₂与C₁关于原点对称．
(Ⅰ) 求曲线C₂的方程；
(Ⅱ) 曲线C₂上是否存在一点P（异于原点），过点P作C₁的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

(Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，
所以方程为．             
(Ⅱ)解：设，，,．
的导数为，则切线的方程，
又，得，
因点在切线上,故．
同理, ．
所以直线经过两点，
即直线方程为,即，
代入得，则,，
所以，
由抛物线定义得，．
所以，
由题设知，，即，
解得，从而．
综上，存在点满足题意，点的坐标为
 或．

解析