Question

（2013•牡丹江一模）下列命题中，正确的是

（1）（2）（3）

（1）平面向量

a

与

b

的夹角为60°，

a

=(2，0)，|

b

|=1，则|

a

+

b

|=

7

（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA成等差数列则B=

π

3

（3）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinB

)，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心
（4）设函数f（x）=

x-[x]，x≥0 f(x+1)，x＜0

其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.3]=-2，[1.3]=1，则函数y=f（x）-

1

4

x-

1

4

不同零点的个数2个．

Answer 1

分析：根据平方法，求出|

a

+

b

|，可判断（1），利用正弦定理的边角互化，结合和差角公式及特殊角的三角函数值，可判断（2），根据向量加法的几何意义，可判断出P点在角A的平分线上，进而判断出（3），根据函数零点的定义判断出函数零点的个数，可判断（4）．

解答：解：∵

a

=(2，0)，|

b

|=1，

a

与

b

的夹角为60°，
∴|

a

+

b

|²=4+1+2=7，故|

a

+

b

|=

7

，即（1）正确；
acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则2bcosB=acosC+ccosA，
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosB=sin（A+C）=sinB
即2cosB=1，即cosB=

1

2

，故B=

π

3

，即（2）正确；
O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：

OP

=

OA

+λ(

AB

sinC

+

AC

sinB

)，λ∈（0，+∞），则P在角A的平分线上，故直线AP一定通过△ABC的内心，即（3）正确；
设函数f（x）=

x-[x]，x≥0 f(x+1)，x＜0

，则函数y=f（x）-

1

4

x-

1

4

不同零点的个数3个，故（4）错误
故正确的命题有：（1）（2）（3）
故答案为：（1）（2）（3）

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的模，正弦定理，平面向量的加法的几何意义，函数的零点等知识点，综合性强，难度中档．