Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知a+b=$\sqrt{m}$c（m＞0）．
（1）当m=3时，
①若A=B，求sinC；
②若B=$\frac{π}{6}$，求sin（A-C）的值．
（2）当m=2时，若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）①根据正弦定理把a+b=$\sqrt{3}$c化为sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，由A=B以及A+B+C=π，利用三角函数变换，求出sinC的值；
②由B=$\frac{π}{6}$，求出A+C的值，再利用sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC以及三角恒等变换，求出A、C的值，即可计算sin（A-C）；
（2）根据m=c=2，利用基本不等式求出ab的最大值，即可得出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）①△ABC中，m=3时，a+b=$\sqrt{3}$c，
∴sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC；
又A=B，∴A+B=2A=2B=π-C，
∴A=B=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）+sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=$\sqrt{3}$sinC，
∴2cos$\frac{C}{2}$=2$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
∴sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinC=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
②∵B=$\frac{π}{6}$，∴A+C=π-B=$\frac{5π}{6}$；
又∵sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinA+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinA=$\sqrt{3}$sinC-$\frac{1}{2}$；
又sinA=sin（$\frac{5π}{6}$-C）=sin$\frac{5π}{6}$cosC-cos$\frac{5π}{6}$sinC=$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，
∴$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=$\sqrt{3}$sinC-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$cosC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC-$\frac{1}{2}$cosC=$\frac{1}{2}$，
即sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
∴C=$\frac{π}{3}$，A=$\frac{5}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴sin（A-C）=sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$；
（2）当m=c=2时，a+b=$\sqrt{2}$c=2$\sqrt{2}$，
∴a²+2ab+b²=8；
∴4ab≤a²+b²+2ab=8，
∴ab≤2，此时a=b=$\sqrt{2}$；
△ABC是等腰直角三角形，其面积最大值为
S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦定理的灵活应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是综合性题目．