题目内容
【题目】关于曲线C:,给出下列五个命题:
①曲线C关于直线y=x对称;
②曲线C关于点对称;
③曲线C上的点到原点距离的最小值为;
④当时,曲线C上所有点处的切线斜率为负数;
⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是.
上述命题中,为真命题的是_____.(将所有真命题的编号填在横线上)
【答案】①③④⑤
【解析】
对每一个命题逐一分析判断得解.
对于①:曲线方程为,交换
,
的位置后曲线方程不变,所以
曲线关于直线
对称,故该命题是真命题;
对于②:在第一象限内,因为点,
在曲线上,由图象可知曲线在直线
的下方,
且为凹函数如图,所以曲线C不关于点对称,故该命题是假命题;
对于③:的最小值为
,故该命题是真命题;
对于④:因为函数为凹函数,所以当,1时,曲线
上所有点处的切线斜率为负值,
所以该命题是真命题;
对于⑤:曲线与两坐标轴所围成图形的面积设为
,则
,故该命题正确.
故答案为:①③④⑤
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