题目内容
(本小题满分14分)
己知函数,(Ⅰ)证明函数是R上的增函数;
(Ⅱ)求函数的值域.(Ⅲ)令.判定函数的奇偶性,并证明
己知函数,(Ⅰ)证明函数是R上的增函数;
(Ⅱ)求函数的值域.(Ⅲ)令.判定函数的奇偶性,并证明
(Ⅰ)略 (Ⅱ) (-1,1) (Ⅲ)略
(Ⅰ)设x, x是R内任意两个值,且x< x,则△x= x-x>0
△y=y-y=f(x)-f(x)= -
= = ………………………… (2分)
当x< x时,2< 2 ∴2-2>0.又2+1>0,2+1>0
∴△y>0,∴f ( x)是R上的增函数。…………………… (4分)
(Ⅱ)f(x)= =1-……………………………………………(6分)
∵2+1>1 ∴0< <2,即-2<-<0,就是-1<1- <1
∴f(x)的值域为(-1,1)……………………………………… (8分)
(Ⅲ)由题意知g(x)=· ………………(11分)
易知函数 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
g(-x)= ·=· = -· =-g(x)
∴函数g(x)为奇函数………………………………………………………………(14分)
△y=y-y=f(x)-f(x)= -
= = ………………………… (2分)
当x< x时,2< 2 ∴2-2>0.又2+1>0,2+1>0
∴△y>0,∴f ( x)是R上的增函数。…………………… (4分)
(Ⅱ)f(x)= =1-……………………………………………(6分)
∵2+1>1 ∴0< <2,即-2<-<0,就是-1<1- <1
∴f(x)的值域为(-1,1)……………………………………… (8分)
(Ⅲ)由题意知g(x)=· ………………(11分)
易知函数 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
g(-x)= ·=· = -· =-g(x)
∴函数g(x)为奇函数………………………………………………………………(14分)
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