题目内容
16.已知等比数列{an}的公比q>0,且a1=1,4a3=a2a4.(Ⅰ)求公比q和a3的值;
(Ⅱ)若{an}的前n项和为Sn,求证$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$<2.
分析 (I)利用等比数列的通项公式即可得出.
(II)作差$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2化简即可得出.
解答 (I)解:∵等比数列{an}的公比q>0,且a1=1,4a3=a2a4.
∴4q2=q4,
解得q=2.
∴a3=4.
(II)证明:an=2n-1,Sn=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2n-1,
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$-2=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-2<0,
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$<2.
点评 本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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