题目内容
【题目】在如图所示的多面体中,平面平面
,四边形
为边长为2的菱形,
为直角梯形,四边形
为平行四边形,且
,
,
.
(1)若,
分别为
,
的中点,求证:
平面
;
(2)若,
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,转化成证明平面
,再转化成证明
和
.(2)第(2)问,先利用几何法找到
与平面
所成角,再根据
与平面
所成角的正弦值为
求出
再建立空间直角坐标系,求出二面角
的余弦值.
试题解析:
(1)连接,因为四边形
为菱形,所以
.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,所以
平面
.
又平面
,所以
.
因为,所以
.
因为,所以
平面
.
因为分别为
,
的中点,所以
,所以
平面
(2)设,由(1)得
平面
.
由,
,得
,
.
过点作
,与
的延长线交于点
,取
的中点
,连接
,
,如图所示,
又,所以
为等边三角形,所以
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,故
平面
.
因为为平行四边形,所以
,所以
平面
.
又因为,所以
平面
.
因为,所以平面
平面
.
由(1),得平面
,所以
平面
,所以
.
因为,所以
平面
,所以
是
与平面
所成角.
因为,
,所以
平面
,
平面
,因为
,所以平面
平面
.
所以,
,解得
.
在梯形中,易证
,分别以
,
,
的正方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
,
由,及
,得
,所以
,
,
.
设平面的一个法向量为
,由
得
令
,得m=(3,1,2)
设平面的一个法向量为
,由
得
令
,得
.
所以
又因为二面角是钝角,所以二面角
的余弦值是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出5人,进行体育锻炼体会交流,从参加体会交流的5人中,随机选出2人作重点发言,求恰好选出一名男生的概率.
参考公式:,其中
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |