Question

2．设f（x）=1og_a（3+x）-log_a（3-x），其中0＜a＜1．
（1）求函数的定义域并判断其奇偶性；
（2）讨论函数单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）由对数的真数大于零列出不等式组，求出函数的定义域，由函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性；
（2）先化简函数的解析式，设g（x）=$\frac{3+x}{3-x}$，设-3＜x₁＜x₂＜3，利用作差法比较g（x₁）和g（x₂）大小，由对数函数的单调性判断出f（x₁）和f（x₂）大小，由函数的单调性定义即可证明结论．

解答 解：（1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，
解得-3＜x＜3，
所以函数的定义域是（-3，3），
因为f（-x）=1og_a（3-x）-log_a（3+x）=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在（-3，3）上单调递减，证明如下：
f（x）=1og_a（3+x）-log_a（3-x）=${log}_{a}^{\frac{3+x}{3-x}}$，
设g（x）=$\frac{3+x}{3-x}$，设-3＜x₁＜x₂＜3，
则g（x₁）-g（x₂）=$\frac{3+{x}_{1}}{3-{x}_{1}}$-$\frac{3+{x}_{2}}{3-{x}_{2}}$=$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）-（3+{x}_{2}）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
=$\frac{6{x}_{1}-6{x}_{2}}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$=$\frac{6（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
因为-3＜x₁＜x₂＜3，
所以3-x₁＞0，3-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
则g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
因为0＜a＜1，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（-3，3）上单调递减．

点评 本题考查对数函数的定义域，利用函数奇偶性、单调性的定义证明等综合问题，考查化简、变形能力，构造法、作差法，属于中档题．