Question

7．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴张半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．
（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的$\sqrt{2}$倍，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为x+y-2=0，圆C的极坐标方程为ρ²=aρsinθ，即x²+y²=ay，把a=2代入可得；
（Ⅱ）易得圆的圆心为（0，$\frac{a}{2}$），半径为$\frac{|a|}{2}$，可得圆心到直线的距离d，由圆的弦长和半径以及d的关系可得a的方程，解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为x+y-2=0，
∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ²=aρsinθ，∴x²+y²=ay，
当a=2时，可得圆C的直角坐标方程为x²+y²=2y，
化为标准方程可得x²+（y-1）²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆C的直角坐标方程为x²+（y-$\frac{a}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴圆心为（0，$\frac{a}{2}$），半径为$\frac{|a|}{2}$，
∴圆心到直线l：x+y-2=0的距离d=$\frac{|\frac{a}{2}-2|}{\sqrt{2}}$，
∵直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的$\sqrt{2}$倍，
∴（$\frac{|a|}{2}$）²=（$\frac{|\frac{a}{2}-2|}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}a}{4}$）²，
解得a=2．

点评 本题考查参数方程和极坐标方程，涉及直线和圆的位置关系，属中档题．