题目内容
6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8$\sqrt{6}$x的焦点重合，且椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线x=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点A、B，以线段AB为直径作圆M，若圆M与y轴相切，求直线x-$\sqrt{3}$y+1=0被圆M所截得的弦长．
分析 （Ⅰ）由抛物线${y}^{2}=8\sqrt{6}x$的焦点坐标为（$2\sqrt{6}，0$），得到c=$2\sqrt{6}$，又离心率已知，故得椭圆方程．
（Ⅱ）由题意知M，圆心M为线段AB中点，且位于x轴的正半轴，故设M的坐标为（t，0），再利用圆心到直线得距离和半径以及弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求解
解答 解：（Ⅰ）因为抛物线${y}^{2}=8\sqrt{6}x$的焦点坐标为（$2\sqrt{6}，0$），所以c=$2\sqrt{6}$，…（2分）
又椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以a=6，b2=a2-c2=12
所以椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；…（5分）
（Ⅱ）由题意知M，圆心M为线段AB中点，且位于x轴的正半轴，故设M的坐标为（t，0）
因为圆M与y轴相切，不妨设点B在第一象限，又MA=MB=t，所以B（t，t）
∴$\frac{{t}^{2}}{36}+\frac{{t}^{2}}{12}=1（t＞0）$ 解得t=3，…（8分）
∴圆心M（3，0），半径r=3
∴圆M的方程为：（x-3）2+y2=9；…（10分）
又圆心M到直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的距离$d=\frac{|3-0+1|}{2}=2$
所以，直线x-$\sqrt{3}$y+1=0被圆M所截得的弦长为：
$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}$． …（13分）
点评 本题主要考查直线与圆锥曲线（包括圆）的综合应用，属于中档题型，在高考文科中常有涉及．
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13．
如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为（ ）
如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为（ ）| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $16\sqrt{2}$ | D． | 1 |
已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其右顶点为 A（2，0），上、下顶点分别为 B1，B2．直线 A B2的斜率为$\frac{1}{2}$，过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于 M，N两点（ M，N均在y轴右侧）．
18．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AA1=AB=AD=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，则直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ | B． | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ |