题目内容

【题目】如图,在三棱椎中,侧棱底面分别是线段的中点,过线段的中点的平行线,分别交于点.

1)证明:平面

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)证明略;(2

【解析】

试题(1)要证线面垂直,就要证线线垂直,即要证与平面内两条相交直线垂直,首先由三棱柱侧棱与底面垂直可得,由等腰三角形性质知,从而有,因此即证线面垂直;(2)要求二面角,关键是作出二面角的平面角,一般要找到二面角的一个面的垂线,则平面角易作,因此我们连接,作,由(1)可证平面,根据三垂线定理可得所求二面角的平面角,并在相应直角三角形中可求得此角大小.

试题解析:(1)因为ABACDBC的中点,

所以BCAD.

由题可知MNBC

所以MNAD.

因为AA1⊥平面ABCMN平面ABC

所以AA1MN.

ADAA1在平面ADD1A1内,且ADAA1相交于点A

所以MN⊥平面ADD1A1.

(2)解 如图,连结A1P,过点AAEA1P于点E,过点EEFA1M于点F,连结AF.

(1)知,MN⊥平面AEA1

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

因为平面AEA1平面A1MNA1PAEA1PAE平面AEA1

所以AE⊥平面A1MN,则A1MAE,又AEEFE

所以A1M⊥平面AEF,则A1MAF

故∠AFE为二面角AA1MN的平面角(设为θ)

AA11,则由ABAC2AA1,∠BAC120°

DBC的中点,有∠BAD60°AB2AD1.

PAD的中点,MAB的中点,

所以APAM1.

RtAA1P中,A1P

RtA1AM中,A1M

从而AE

AF

所以sinθ.

因为∠AFE为锐角,

所以.

故二面角AA1MN的余弦值为.

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