Question

.(12分)已知函数在R上为奇函数,，.
(I)求实数的值;
(II)指出函数的单调性.（不需要证明）
(III)设对任意,都有;是否存在的值，使最小值为；

Answer 1

(I)；(II)减函数；(III) 。

(I)因为f(x)为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，据此可求出m的值.
（II）由（I）可求出,讨论a,根据复合函数的单调性可判断f(x)的单调性.
（III）解本小题的关键是因为对任意都有，
所以对任意都有，
所以对任意都有，
所以对任意都有，从而转化为求的最小值，再解关于t的不等式即可.
解：(I)
即

…………………………………3分
又…………………………………1分
(II)由(I)知
又在R上为减函数……………3分
(III)又因为对任意都有
所以对任意都有
所以对任意都有
所以对任意都有


解得……………………………1分

令,


解得……………………………2分
此时
解得
………………………………………2分