题目内容
【题目】定义域在R的单调增函数满足恒等式
(x,
),且
.
(1)求,
;
(2)判断函数的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意,都有
成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
是奇函数,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)运用赋值法,代入求出
的值,代入
,
结合已知条件求出
的值.
(2)令代入已知的恒等式中,结合函数奇偶性的定义判断出函数
的奇偶性.
(3)由(2)知函数为奇函数,运用奇函数性质进行化简,再结合函数的单调性求解不等式,解出实数k的取值范围.
(1)令可得
,
令,
∴
∴
∴
;
(2)令∴
∴
,即
∴函数是奇函数.
(3)∵是奇函数,且
在
时恒成立,
∴在
时恒成立,
又∵是R上的增函数.
∴即
在
时恒成立.
∴在
时恒成立.
令,
∵∴
.由抛物线图象可得
∴
.
则实数k的取值范围为.
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