题目内容
(本小题满分12分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中,,
平面
(1)求证:平面PAC;
(2) 求二面角的大小.
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中,,
平面
(1)求证:平面PAC;
(2) 求二面角的大小.
(1)见解析;(2)二面角的大小为.
本题主要考察空间中直线和直线之间的位置关系以及二面角的求法.一般在证明线线垂直时,通常先证明线面垂直,进而推得线线垂直,或用三垂线定理或其逆定理.
(1)先取AB 中点为O,连接PO,CO,根据条件得到PO⊥AB,再结合侧面PAB⊥底面ABCD,得到PO⊥底面ABCD,即可得到OC为PC在底面ABCD上的射影;最后结合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到结论.
(2)建立空间直角坐标系,然后分析法向量与法向量的夹角得到结论。
解:(1)如图,建立坐标系,
则,
, ……………………………2分
,
又, . ……………………………………6分
(2)设平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则 …………………8分
解得,
令,则 ……………………………………………………10分
二面角的大小为. …………12分
(1)先取AB 中点为O,连接PO,CO,根据条件得到PO⊥AB,再结合侧面PAB⊥底面ABCD,得到PO⊥底面ABCD,即可得到OC为PC在底面ABCD上的射影;最后结合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到结论.
(2)建立空间直角坐标系,然后分析法向量与法向量的夹角得到结论。
解:(1)如图,建立坐标系,
则,
, ……………………………2分
,
又, . ……………………………………6分
(2)设平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则 …………………8分
解得,
令,则 ……………………………………………………10分
二面角的大小为. …………12分
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