Question

4．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1+\sqrt{2}$，圆C的圆心是$C（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，半径为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是$C（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，
∴x=ρcosθ=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，y=ρsinθ=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
即圆心坐标为（1，1），
则圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=2，x²-2x+y²-2y=0
圆C的极坐标方程为：$ρ=2\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$；
（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1+\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=1+$\sqrt{2}$，
即$x+y=2+\sqrt{2}$，
圆心到直线距离为$d=\frac{{|1+1-2-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{2}}}=1$，圆半径为$\sqrt{2}$．
故弦长为$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2$．

点评 本题主要考查参数方程和极坐标方程的应用，利用极坐标和直角坐标系之间的关系是解决本题的关键．