Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 ，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．
（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
（ii）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e= = = ，则a2=4b2 ， 将P（2，1）代入椭圆 ，则 ，解得：b2=2，则a2=8，
∴椭圆的方程为： ；
（Ⅱ）（i）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，
当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 ，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，
则△=16（8k2﹣t2+2）＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
又直线PA的方程为y﹣1= （x﹣2），
即y﹣1= （x﹣2），
因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），
由 ，则 + =0，
化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，
则（2﹣4k）× ﹣（2﹣4k+2t）（﹣ ）+8t=0，
化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，
当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；
（ii）由（i）可知：S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨 丨OQ丨丨x1丨﹣ 丨OQ丨丨x2丨丨，
= ×2×丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨= ，
=4 ，
令4k2+1=u，则S△OAB=4 ，
=4 ≤2，
即当 = ，u=4，即k=± 时，等号成立，
∴△OAB面积的最大值2．
【解析】（Ⅰ）由离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用直线的点斜式方程，求得M和N点坐标，由 ，利用韦达定理，化简当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；（ii）S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨x1﹣x2丨，由韦达定理，弦长公式，利用二次函数的性质，即可求得△OAB面积的最大值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．